Lineare Algebra
Das Ziel soll es sein verschiedene Grundrechnungen der Linearen Algebra zu verstehen. In dieser Einführung beschränken wir uns dabei auf Vektoren im euklidischen Raum.
Der euklidische Raum ist der Raum unserer Altagserfahrung, er ist nicht gekürmmt. Für diejenigen die sich nicht gerade im Masterstudium der Mathematik, Physik oder Geologie befinden,
werden nicht-euklidische Ebenen und Räume aus mathematischer Sicht vermutlich irrelevat bleiben.
Was sind Vektoren?
Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ sind Pfeile die eine bestimmte Richtung und Länge haben. Diese werden in einem Koordinatensystem dargestellt. Hierbei stellt der Eintrag
$a_1$ die Schrittweite in die x-Richtung und der Eintrag $a_2$ die Schrittweite in die y-Richtung dar. Dieses 2 Dimensionale Beispiel kann auf beliebig viele Dimensionen erhöht werden.
Abb. 1: Graphische Darstellung von Vektoren.
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Die graphische Darstellung von Vektoren ist in Abbildung 1 zu sehen. Der Vektor (hier: $\vec{a}=\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$, rot dargestellt) ist die direkte Vebindungslinie zwischen dem Ursprung $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und
dem Punkt $P(-3;1)$ der durch $-3$ Schritte in x-Richtung und $1$ Schritt in y-Richtung erreicht wird (grüne Pfeile).
Bemerkung: Ab 3 Dimensionen werden die Achsen x, y und z häufiger mit $x_1$, $x_2$ und $x_3$ bezeichnet.
Vektoraddition
Die euklidische Geometrie vorausgesetzt besteht die Vektoraddition aus der Addition ihrer einzelnen gleich gerichteten Komponenten. Das heisst zur x-Komponente des einen Vektors
wird die x-Komponente des anderen Vektors hinzu addiert, usw., $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1+ b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}$.
Man sagt die Vektoraddition ist kommutativ, das heisst die Reihenfolge der Vektoren darf bei einer Addition vertauscht werden,
$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
Abb. 2: Das Kommutativgesetz der Vektoradditon graphisch dargestellt.
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Das Kommutativgesetz der Vektoraddition wird in Abbildung 2 anschaulich verdeutlicht. Im Beispiel wurde die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und
$\vec{b}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ verwendet. Es spielt keine Rolle, ob man vom Ursprung dem Vektor $\vec{a}$ folgt und von dort aus
die Schritte des Vektors $\vec{b}$ geht (rote Pfeile), oder ob man den Vektoren in anderer Reihenfolge nachgeht (grüne Pfeile). Man endet stets im dem Punkt $P(-1;2)$ der direktdurch den Vektor
$\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}= \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ zu erreichen ist.
Übungen zum Thema:
LA-Übungen Das sind Übungsaufgaben und Lösungen der angewandten Mathematik zum Thema Lineare Algebra
