Navigation


nix zu navigieren...

Folgen und Reihen

Folgen

Zahlen die nach einem logisch erkennbarem Zusammenhang aufgelistet sind, werden als Folgen bezeichnet. Als Beispiel der triviale Fall, die Auflistung der natürlichen Zahlen.
$1, 2, 3, 4, ...., (n-1), n$
In dieser Auflistung sagt man, dass das n-te Glied ($a_n$) die Indentität darstellt. Oder anders aufgeschrieben
$a_1=1, a_2=2, ... ,a_{n-1}=(n-1), a_n=n$.
Für diese Folge lässt sich die logische Vorschrift
$a_n=a_{n-1}+1$
aufstellen. Das heisst, es wird immer zum Vorgäger der Folge die Eins $(1)$ hinzuaddiert.

Summenzeichen

Das Summenzeichen $ \sum_{n=0}^N s_{n} = s_0 +s_1 + s_2 + ... + s_N$ dient einer verkürzenden Schreibweise. Hierbei werden alle Glieder $s_n$ von $n=0$ bis $n=N$ aufaddiert. Diese $s_n$ unterliegen hierbei (meistens) einer n-Abhängigen Rechenvorschrift, ähnlich den $a_n$ im obigen Beispiel.

Reihen

Eine Reihe besteht ebenfalls aus Folgegliedern, die durch eine Rechenvorschrift des Aufsummieren (kontinuierliches Addieren) gefunden wird. Das heisst, bei der Berechnung des $s_n$-ten Gliedes darf nicht auf den Vorgäger $s_{n-1}$ zurück gegriffen werden. Im obigen Fall ist die Reihenschreibweise
$ \sum_{n=0}^N 1 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 =N\cdot1\;$,
dass heisst, N-maliges aufaddieren der Eins $($ hier $s_{n}=1\; \forall\, n)$. (ps.: $\forall$ heisst für alle)

Die Geschichte vom Schachbrett

Ein interessantes Beispiel zur Nutzung von Reihen ist die Geschichte zur Erfindung des Schachbretts. Diese altbekannte Annekdote besagt, dass ein König gerne ein neues Spiel zum Zeitvertreib haben wollte, worauf der Erfinder Ihm sein Schachspiel vorführte. Der König war daraufhin so begeistert von diesem Spiel, dass er Ihm sein halbes Königreich und seine Tochter, die Prinzessin, überlassen wollte. Der Erfinder gab sich bescheiden und schlug demm König vor, sattdessen lieber zwei Weizenkörner auf dem ersten Feld, vier auf dem zweiten Feld, 8 auf dem dritten Feld haben zu wollen. Rechnen wir dieses mal nach:
Hierzu setzen wir in $n$ jeweils die Nummer des Feldes ein, wobei $N=64$ der Anzahl aller Schachbrettfelder entspricht.
$ \sum_{n=1}^{64} 2^n=2^1 +2^2 +2^3+...+2^{64} =2+4+8+...+18446744073709551616=36893488147419103230$
was ca. einer einzentimeter Schicht Reis auf der kompletten Fläche der Erde entspricht. Der Erfinder war also nicht sonderlich bescheiden, sondern ganz schön unverschämt ;-)